Chapitre 3. Applications linéaires.


Exercices

Exercice 1. Application linéaire, matrice, noyau.
Exercice 2. Inversion de deux matrices 3 × 3.
Exercice 3. Endomorphisme de R 4.
Exercice 4. Dimensions du noyau et de l'image.
Exercice 5. Noyau d'une forme linéaire.
Exercice 6. Surjectivité d'une application linéaire.
Exercice 7. Endomorphisme et automorphisme.
Exercice 8. Sous-espace vectoriel et image d'endomorphisme.
Exercice 9. Endomorphisme dont le noyau et l'image coïncident.
Exercice 10. Noyau et image supplémentaires.
Exercice 11. Noyaux et images supplémentaires.
Exercice 12. Endomorphismes de rangs complémentaires.
Exercice 13. Projecteurs.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 1. Application linéaire, matrice, noyau.

Soit f : R 3 ® R 3 l'application définie par f (x, y, z) = (x + 3 y – 5 z, 3 x – 7 y + 15 z, 2 x – 6 y + 12 z).

1°/ Vérifier que f est une application linéaire.
2°/ Donner la matrice M de f dans la base canonique de R 3.
3°/ Soit g = f – 2 id R 3. Donner une base de Ker g.
4°/ Soit I3 la matrice unité de M3 [R]. Calculer (M – 2 I3) 2.
5°/ Trouver un vecteur u Î R 3 vérifiant : u Î Ker (g o g) et u Ï Ker (g).
6°/ Pour le vecteur u de la question 5, montrer que ( g (u), u ) est un système libre.
7°/ Trouver un vecteur v Î Ker (g) tel que (g (u), u , v) soit une base de R 3.
8°/ Donner, sans calcul, la matrice de g dans la base (g (u), u , v).
9°/ Montrer que la matrice de f dans la base {g (u), u , v} est .
10°/ Soit id R 3 l'application identique de R 3. Montrer que, pour tout nombre réel l différent de 2, fl id R 3 est une application injective.
11°/ Démontrer, par récurrence sur n, que, pour tout n Î N *, =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 2. Inversion de deux matrices 3 × 3.

Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles et, si oui, donner leur inverse :

A = ; B =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 3. Endomorphisme de R 4.

Soit f l'application définie par :

f (x, y, z, t) = (x + y + t, xz + 2 t, y + z – t, y + z – t).

1°/ Montrer que l'application f est un endomorphisme de R 4.
2°/ Ecrire la matrice A de f dans la base canonique de R 4.
3°/ Déterminer une base (v1, v2) de Ker f et en déduire sa dimension.
4°/ En déduire le rang de f.
5°/ Montrer que R 4 = Im f Å Ker f.
6°/ Montrer qu'il existe (v3, v4) Î Im f × Im f tel que :
          f (v3) = – v3  et  f (v4) = 2 v4.
7°/ Montrer que {v} = {v1, v2, v3, v4} forme une base de R 4.
8°/ On note = f n la composée n e de l'application f.
Calculer les matrices de f 2 et f 3 dans la base canonique de R 4.
En déduire que f 3 = f 2 + 2 f.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 4. Dimensions du noyau et de l'image.

On définit l'application f de R-espace vectoriel R ² dans le R-espace vectoriel R 5, en posant, pour tout vecteur x := (a, b) de R ² :

f (x) = (a + 2 b, – 2 a + 3 b, a + b, 3 a + 5 b, – a + 2 b)

1°/ Montrer que f est une application linéaire.
2°/ Déterminer Ker (f) ainsi que sa dimension.
2°/ Déterminer Im (f) ainsi que sa dimension.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 5. Noyau d'une forme linéaire.

Soit f l'application de R 4 dans R définie par f (x 1, x 2, x 3, x 4) = 3 x 1 + x 2. Quelle est la dimension du noyau de f ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 6. Surjectivité d'une application linéaire.

Soit f l'application de R ³ dans R ² définie par f (x, y, z) = (xy + z, y + z).

1°/ Montrer que f est linéaire.
2°/ Déterminer le noyau de f.
3°/ f est-elle injective ? surjective ? un isomorphisme ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 7. Endomorphisme et automorphisme.

Soit f et g les applications de R ² dans R ² définies par :

f (x, y) = (2 x – 4 y, x – 2 y), g (x, y) = (3 x – 4 y, xy)

1°/ Montrer que f est un endomorphisme.
2°/ Déterminer Ker (f) et Im (f).
3°/ Montrer que g est un automorphisme.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 8. Sous-espace vectoriel et image d'endomorphisme.

On considère les vecteurs u = (2, 1, –1), v = (1, –1, 3), w = (3, 3, –5) du R-espace vectoriel R ³. Soit F = Vect ({u, v, w}) le sous-espace vectoriel engendré par {u, v, w}.

1°/ Déterminer une base de F.
2°/ On définit l'application f de l'espace vectoriel R ³ dans lui-même, en posant, pour tout vecteur x = (a, b, g) de R ³ :
     f (x) = (3 a + g, ab + g, – 3 a – 3 b + g)
Montrer que f est un endomorphisme de R ³.
3°/ Déterminer une base de Ker (f) et une base de Im (f).
4°/ A-t-on R ³ = Ker (f) Å Im (f) ?
5°/ Les vecteurs u, v, w, sont-ils des éléments de Im (f) ?
6°/ Déterminer une base et la dimension de F I Im (f).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 9. Endomorphisme dont le noyau et l'image coïncident.

On désigne par f un endomorphisme de R n tel que :

(i)   Ker (f) = Im (f)

1°/ Donner un exemple d'un tel endomorphisme.
2°/ Montrer que l'asssertion (i) est équivalente à l'assertion :

(ii)   f o f = 0 et n = 2 × rang (f)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 10. Noyau et image supplémentaires.

Soit f un endomorphisme de R n. Etablir l'équivalence des deux assertions suivantes:
   (i)  Im (f o f) = Im (f)
   (ii) R n = Ker (f) Å Im (f).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 11. Noyaux et images supplémentaires.

Soit f une application linéaire de R n dans R p, et g une application linéaire de R p dans R n. On suppose f o g o f = f et g o f o g = g.
Montrer que R n = Im (g) Å Ker (f) et R p = Im (f) Å Ker (g).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 12. Endomorphismes de rangs complémentaires.

Soient u et v des endomorphismes de R n tels que u o v = O L (R n) et u + v Î GL (R n).
Montrer que rg (u) + rg (v) = n.
On pourra montrer que Im (v) Ì Ker (u) et que Im (u + v) Ì Im (u) + Im (v).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 13. Projecteurs.

On pose E := R n.
On dit qu'un endomorphisme p est un projecteur de E si, et seulement si, p o p = p.

1°/ Montrer que p est un projecteur de E si, et seulement si, Id Ep est un projecteur de E.
2°/ Montrer que si p est un projecteur de E, alors :
     Im (Id Ep) = Ker (p) et Ker (Id Ep) = Im (p)
3°/ Montrer que si p est un projecteur de E, alors E = Im (p) Å Ker (p).
4°/ Montrer qu'un projecteur p de E commute avec un endomorphisme u de E pour la loi o si, et seulement si, u (Ker (p)) Ì Ker (p) et u (Im (p)) Ì Im (p).