Chapitre 30. Intégrales propres dépendant d'un paramètre.

Enoncés.

Exercice 2. Transformation de Laplace.

1°/ Montrer que si une fonction numérique f (t), nulle pour t < 0, vérifie, pour t > 0,

f (x + T) = f(x)

avec un T > 0, alors son image par la transformation de Laplace, définie par :

F (p) = f (t) e^{– p t} dt

est donnée par :

F (p) = f (t) e^{– p t} dt.

2°/ Déterminer l'image de Laplace F (p) de la fonction numérique f : R ® R, nulle pour t < 0 et égale, pour t > 0, à | sin t |.

3°/ Exprimer, en fonction de F et de ses dérivées, la transformée de Laplace de (– t)^m f (t), où f est la fonction numérique définie en 2° et où m est un entier 1.
Calculer, en fonction de p, la valeur de l'intégrale t e^{– p t} sin t dt.

Solution.

1°/ Transformée de Laplace d'une fonction périodique.

Par définition, la transformée de Laplace d'une fonction f (t) nulle pour t < 0 est la fonction de variable complexe p définie par l'intégrale :

F (p) =

f (t) e^{– p t} dt

Si f (x + k T) = f (x) pour tout x Î ] 0, T [ et pour tout k Î N, on peut écrire :

F (p) =

f (t) e^{– p t} dt =

f (u) e^{– p (u
+ k T)} du
=

e^{– p k T}

f (u) e^{– p u} du

Pour | e^{– p T} | strictement plus petit que 1, la série e^{– p k T} converge, sa somme est égale à et l'on obtient :

F (p) =

f (t) e^{– p t} dt.

2°/ Application numérique.

La fonction f (t) = est continue et périodique de période T = p pour t > 0.

Sa transformée de Laplace est, d'après le résultat obtenu dans la première question :

F (p) =

e^{–
p t} sin t dt.

Pour calculer l'intégrale, on peut utiliser la formule d'Euler :

sin t = (e^{i t} – e^{– i t})

Il vient :

F (p) =

e^{–
(p – i) t} sin t dt –

e^{– (p + i) t} sin t dt
=

F (p) =

3°/ Dérivabilité.

Le théorème de dérivabilité d'une intégrale dépendant d'un paramètre indique que la fonction
(1 – e^{– p p}) F (p) = e^{– p t} sin t dt
est dérivable et a pour dérivée l'intégrale de 0 à p de la dérivée par rapport à p de e^{–
p t} sin t, lorsque :

c et d sont des nombres réels vérifiant c < d,
f est une application de [0, p] × [c, d] dans R,
L'application partielle f_p : p f (t, p) est continue sur [c, d] pour tout t Î [0, p],
existe et c'est une application continue de [0, p] × [c, d] dans R.

Ici, l'application partielle f_p : p f (t, p) = e^{– p
t} sin t est de classe C ¹ sur tout intervalle [c, d] de R.
Donc sa dérivée partielle par rapport à p existe, c'est l'application continue de [0, p] × [c, d] dans R définie par :

(t, p) = – t e^{–
p t} sin t

((1 – e^{– p p}) F (p)) = p e^{– p p} F (p) + (1 – e^{–
p p}) F' (p) =

(– t) e^{– p t} sin t dt.

Si l'intervalle [c, d] ne contient pas 0, on voit donc que F est dérivable sur [c, d] et sa dérivée est donnée par :

F' (p) = –

F (p) +

(– t) e^{– p t} sin t dt
= –

(– t) e^{– p t} sin t dt

(– t) e^{– p t} sin t dt est la transformée de Laplace de la fonction nulle pour t < 0, périodique de période p pour t > 0, et égale à (– t sin t) entre 0 et p.

Par récurrence, à partir de la formule :

(– t) e^{– p t} sin t dt =

((1 – e^{– p p}) F (p))

il vient, par dérivations successives de l'intégrale :

(– t)^m e^{– p t} sin t dt =

((1 – e^{–
p p}) F (p))

La formule de Leibnitz de dérivation d'un produit permet de calculer l'intégrale en fonction de F (p) et de ses dérivées :

(– t)^m e^{– p t} sin t dt =

= (1 – e^{– p p}) F^(m) (p) –

(– p)^k e^{–
p p} F^{(m – k)} (p)

et la transformée de Laplace de la fonction nulle pour t < 0, périodique de période p pour t > 0, et égale à (– t)^m sin t) entre 0 et p est donnée par :