Chapitre 30. Intégrales propres dépendant d'un paramètre.


Enoncés.

Exercice 2. Transformation de Laplace.

1°/ Montrer que si une fonction numérique f (t), nulle pour t < 0, vérifie, pour t > 0,

f (x + T) = f(x)

avec un T > 0, alors son image par la transformation de Laplace, définie par :

F (p) = f (t) ep t dt

est donnée par :

F (p) = f (t) ep t dt.

2°/ Déterminer l'image de Laplace F (p) de la fonction numérique f : R ® R, nulle pour t < 0 et égale, pour t > 0, à | sin t |.

3°/ Exprimer, en fonction de F et de ses dérivées, la transformée de Laplace de (– t) m f (t), où f est la fonction numérique définie en 2° et où m est un entier 1.
Calculer, en fonction de p, la valeur de l'intégrale t ep t sin t dt.

 

Solution.

1°/ Transformée de Laplace d'une fonction périodique.

Par définition, la transformée de Laplace d'une fonction f (t) nulle pour t < 0 est la fonction de variable complexe p définie par l'intégrale :

F (p) = f (t) ep t dt

Si f (x + k T) = f (x) pour tout x Î ] 0, T [ et pour tout k Î N, on peut écrire :

F (p) = f (t) ep t dt = f (u) ep (u + k T) du
= ep k Tf (u) ep u du

Pour | e– p T | strictement plus petit que 1, la série ep k T converge, sa somme est égale à et l'on obtient :

 F (p) = f (t) ep t dt.

2°/ Application numérique.

La fonction f (t) = est continue et périodique de période T = p pour t > 0.

Sa transformée de Laplace est, d'après le résultat obtenu dans la première question :

F (p) = ep t sin t dt.

Pour calculer l'intégrale, on peut utiliser la formule d'Euler :

sin t = (ei tei t)

Il vient :

F (p) = e – (pi) t sin t dte – (p + i) t sin t dt
=
= =

 F (p) =

3°/ Dérivabilité.

Le théorème de dérivabilité d'une intégrale dépendant d'un paramètre indique que la fonction
(1 – ep p) F (p) = ep t sin t dt
est dérivable et a pour dérivée l'intégrale de 0 à p de la dérivée par rapport à p de ep t sin t, lorsque :

Ici, l'application partielle fp : p f (t, p) = ep t sin t est de classe C ¹ sur tout intervalle [c, d] de R.
Donc sa dérivée partielle par rapport à p existe, c'est l'application continue de [0, p] × [c, d] dans R définie par :

(t, p) = – t ep t sin t
((1 – ep p) F (p)) = p ep p F (p) + (1 – ep p) F' (p) = (– t) ep t sin t dt.

Si l'intervalle [c, d] ne contient pas 0, on voit donc que F est dérivable sur [c, d] et sa dérivée est donnée par :

F' (p) = – F (p) + (– t) ep t sin t dt
= – + (– t) ep t sin t dt

(– t) ep t sin t dt est la transformée de Laplace de la fonction nulle pour t < 0, périodique de période p pour t > 0, et égale à (– t sin t) entre 0 et p.

Par récurrence, à partir de la formule :

(– t) ep t sin t dt = ((1 – ep p) F (p))

il vient, par dérivations successives de l'intégrale :

(– t) m ep t sin t dt = ((1 – ep p) F (p))

La formule de Leibnitz de dérivation d'un produit permet de calculer l'intégrale en fonction de F (p) et de ses dérivées :

(– t) m ep t sin t dt =
= (1 – ep p) F(m) (p) – (– p) k ep p F(m – k) (p)

et la transformée de Laplace de la fonction nulle pour t < 0, périodique de période p pour t > 0, et égale à (– t)m sin t) entre 0 et p est donnée par :

 (– t) m ep t sin t dt= F(m) (p) – (– p) k F(m – k) (p)

On peut faire aussi le calcul direct de la dérivée de F sur l'expression :

F (p) = =

F' (p) =

On en déduit la valeur de l'intégrale :

(– t) ep t sin t dt = p ep p F (p) + (1 – ep p) F' (p)
= + (1 + ep p)

 t ep t sin t dt = (1 + ep p) – (2 + ep p + e– 2 p p)