Chapitre 12. Simulation d'un échantillon.


Exercices

Exercice 1. Calcul d'une intégrale.
Exercice 2. Echantillon de loi discrète finie.
Exercice 3. Echantillon de loi de Poisson.
Exercice 4. Echantillon de loi normale.
Exercice 5. Stock de sécurité.
Exercice 6. Loi exponentielle : méthode de Von Neumann.
Exercice 7. Echantillon de loi de Cauchy.
Exercice 8. Echantillon de loi de Bernoulli.
Exercice 9. Loi normale : méthode polaire.
Exercice 10. Loi continue : méthode du rejet.
Exercice 11. Calcul approché de p.


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 1. Calcul d'une intégrale.

On considère l'intégrale I = f (x) dx, et une variable aléatoire X distribuée uniformément sur l'intervalle [ 0, 1 ].
1°/ Montrer comment une suite de nombres aléatoires X 1, ... , X n, permet de calculer une valeur approchée de l'intégrale I.
2°/ Application numérique : choisir au hasard 10 nombres dans une table de nombres au hasard et en déduire une une estimation ponctuelle de l'intégrale I =x² dx.
3°/ Le calcul effectué à partir de l'échantillon dans la deuxième question conduit-il à une estimation ponctuelle acceptable de I ? Comment peut-on l'améliorer ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 2. Echantillon de loi discrète finie.

Un dé comporte deux faces de couleur rouge, trois faces de couleur noire, une face de couleur blanche. On jette plusieurs fois le dé et on note les couleurs qui sortent.
A l'aide d'une table de nombres au hasard, construire un échantillon correspondant à
dix jets de dés.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 3. Echantillon de loi de Poisson.

1°/ En choisissant dix nombres au hasard dans une table de nombres au hasard, construire un échantillon fictif de dix valeurs d'une variable aléatoire X obéissant à une loi de Poisson de paramètre l = 1,5.

2°/ Donner, à l'aide de l'échantillon ainsi construit, une estimation ponctuelle des probabilités P (X = 1) et P (X = 2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 4. Echantillon de loi normale.

A l'entrée d'une station de métro, un marchand de journaux remarque qu'entre 7 heures et 8 heures, une personne sur dix en moyenne achète un journal. Sachant qu'il passe en moyenne 400 personnes dans cette station entre 7 heures et 8 heures, et en admettant que chacune a une probabilité 0,1 d'acheter un journal :

1°/ Donner une approximation de la loi de probabilité du nombre de journaux X vendus dans cette station entre 7 heures et 8 heures ;

2°/ Calculer, à l'aide d'une table de nombres au hasard, un échantillon fictif de cinq valeurs de X.
A l'aide de cet échantillon, donner une estimation ponctuelle de la moyenne de X.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 5. Stock de sécurité.

Une entreprise a une production constante de 70 unités par mois et doit satisfaire une demande aléatoire D qui suit une loi de Gauss de paramètres
µ = E (D) = 70 et s (D) = 6.
Pour satisfaire à une éventuelle demande excédentaire (livrée en fin de mois) le fabricant a la possibilités de s'approvisionner en début de mois chez un concurrent pour constituer un stock de sécurité.

1°/ Quel doit être le stock de sécurité S pour que la probabilité de ne pas satisfaire à la demande (probabilité de défaillance) soit égale à 2,5 % ?

2°/ Le stock de sécurité est rétabli au niveau S au début de chaque mois, par achat ou rendu de l'excédent, suivant le cas. Pour avoir une idée de l'évolution des achats possibles, on emploie une méthode de simulation en construisant un échantillon de 10 valeurs de la demande D en utilisant une table de nombres au hasard. Construire un tel échantillon.

3°/ En fonction de l'échantillon obtenu, calculer les achats ou rendus correspondants pour maintenir le stock en début de mois au niveau S déterminé dans la première question.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 6. Loi exponentielle : méthode de Von Neumann.

Construire, à l'aide d'une table de nombres au hasard, un échantillon fictif de taille 10 de la variable aléatoire X de une loi exponentielle 2 e – 2 x, x > 0 :

1. En utilisant la fonction de répartition de X.
2. Avec la méthode de Von Neumann.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 7. Echantillon de loi de Cauchy.

Construire, à l'aide d'une table de nombres au hasard, un échantillon fictif de taille 10 de la variable aléatoire X de Cauchy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 8. Echantillon de loi de Bernoulli.

Construire, à l'aide d'une table de nombres au hasard, un échantillon fictif de taille 10 de la variable aléatoire X de Bernoulli, de paramètre p = .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 9. Loi normale : méthode polaire.

1. En utilisant une table de nombres au hasard, construire un échantillon de taille 10 de loi normale de paramètres µ = 4, s ² = 4 :

a) En utilisant la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite.
b) En utilisant la variable polaire X = cos 2 p V, où U et V sont des variables uniformes indépendantes dans l'intervalle [0, 1].

2. Comparez les moyennes des deux échantillons obtenus dans la première question.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 10. Loi continue : méthode du rejet.

1. En utilisant une table de nombres au hasard, et la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite, construire un échantillon de taille 10 de loi normale de paramètres µ = 1, s ² = 1, contenu dans l'intervalle [0, 2].

2. On considère la densité de probabilité définie par la fonction :

f (x) =

Avec pour constante c = , utiliser l'échantillon obtenu dans la première question pour simuler un échantillon de loi f par la méthode du rejet.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 11. Calcul approché de p.

Soit f une application définie sur l'intervalle réel [0, 1] à valeurs dans [0, 1] et continue.
1°/ On suppose qu'on possède un générateur de nombres au hasard de loi uniforme sur [0, 1]. Décrire une méthode donnant une valeur approchée de l'intégrale de f.
2°/ Que faut-il choisir comme application(s) f afin d'obtenir une valeur approchée de
p.