Chapitre 13. Estimation ponctuelle et par intervalle de confiance.


Exercices

Exercice 1. Echantillons de loi uniforme.
Exercice 2. Echantillon de loi normale.
Exercice 3. Efficacité d'un estimateur.
Exercice 4. Estimateur de variance minimum.
Exercice 5. Intervalle de confiance du pourcentage de faces.
Exercice 6. Intervalle de confiance du pourcentage de votes favorables.
Exercice 7. Nombre de personnes à sonder par téléphone.
Exercice 8. Nombre de personnes devant accepter une proposition.
Exercice 9. Test d'équilibrage d'un dé.
Exercice 10. Pourcentage de garçons à la naissance.
Exercice 11. Masse de colis.
Exercice 12. Régime amaigrissant.
Exercice 13. Trempage d'assiettes.


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 1. Echantillons de loi uniforme.

En utilisant une table de nombres aléatoires, engendrer 5 échantillons non exhaustifs de taille n = 6, de la variable X de réalisations équiprobables : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

1°/ Calculer les cinq réalisations des variables aléatoires :

.

2°/ Calculer la moyenne des cinq valeurs de trouvées et montrer qu'elle fournit la même estimation = * de = E (X) que celle donnée par la moyenne des 30 observations de X.
3°/ Calculer la moyenne des cinq valeurs (x i) ² de ' ².
Cette moyenne est une réalisation de l'estimateur de l'espérance de ' ².
Quelle grandeur ' ² estime-t'il ?
L'estimateur ' ² est-il sans biais ?
4°/ Calculer la moyenne des cinq valeurs de ² = ' ².
Cette moyenne est une réalisation de l'estimateur de l'espérance de ².
Quelle grandeur ² estime-t'il ?
L'estimateur ² est-il sans biais ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 2. Echantillon de loi normale.

1°/ En utilisant une table de nombres aléatoires, engendrer un échantillon non exhaustif de taille n = 10, de la variable normale X de moyenne µ = 5 et d'écart-type s = 2.
2°/ Vérifier la normalité de l'échantillon obtenu à l'aide d'un graphique gausso-arithmétique.
3°/ Calculer une estimation sans biais de la moyenne de X donnée par cet échantillon.
4°/ Calculer une estimation sans biais de la variance de X, donnée par cet échantillon.
5°/ En déduire l'intervalle de confiance à 95 % de la moyenne.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 3. Efficacité d'un estimateur.

Considérons les variables aléatoires 3, 4, 5, qui représentent des moyennes d'échantillons aléatoires non exhaustifs (X 1, X 2, X 3), (X 4, X 5, X 6, X 7), (X 8, X 9, X 10, X 11, X 12) de taille n = 3, 4, 5, d'une variable aléatoire X.

1°/ Quelles sont les moyennes et les variances respectives de 3, 4, 5 ?
2°/ En utilisant une table de nombres aléatoires, engendrer une réalisation de chacune des variables 3, 4, 5.
Calculer les réalisations de = (3 + 4 + 5) et de 12 = X i, où les X i sont les variables aléatoires intervenant dans la construction des trois échantillons.
et 12 sont-ils des estimateurs sans biais de E (X) ?
Pourquoi les réalisations calculées de et 12 ne sont-elles pas identiques ?
3°/ Quel est l'estimateur le plus efficace, de ou de 12 ?
4°/ Peut-on trouver des constantes a 3, a 4, a 5, telles que les estimateurs 12 et = a 3 3 + a 4 4 + a 5 5 aient la même efficacité ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 4. Estimateur de variance minimum.

On considère une circonscription électorale de 50 000 électeurs, comprenant 30 % d'hommes et 70 % de femmes.
Soient     p la proportion, inconnue, de personnes votant pour l'opposition,
            p 1 la proportion, inconnue, de femmes votant pour l'opposition,
            p 2 la proportion, inconnue, d'hommes votant pour l'opposition.
1°/ Exprimer p en fonction de p 1 et p 2.
2°/ On interroge n 1 femmes et n 2 hommes sur leurs intentions de vote (on suppose que les votes seront conformes aux déclarations d'intention, on admettra que les deux échantillons sont indépendants et non exhaustifs).
Soient f 1 et f 2 les pourcentages observés d'intentions de vote pour l'opposition dans chacun des deux échantillons.
Déterminer a 1 et a 2 de façon que f = a 1 f 1 + a 2 f 2 soit une estimation sans biais de p.
3°/ Calculer la variance de l'estimateur de p ainsi trouvé.
4°/ On suppose que l'on ne peut interroger plus de n personnes.
Calculer, en fonction de n, p 1, p 2, a 1, a 2, les valeurs de n 1 et n 2 qui rendent minimum la variance de .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 5. Intervalle de confiance du pourcentage de faces.

On lance une pièce 1000 fois au hasard et on trouve 535 faces, donc f = 0,535. Est-ce que l'on peut rejeter l'hypothèse que la pièce est équilibrée ? (Utiliser un niveau de confiance 95 %).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 6. Intervalle de confiance du pourcentage de votes favorables.

On sonde 500 personnes : 105 sont en faveur d'une réforme fiscale. Calculer, approximativement, un intervalle de confiance à 95 % pour la proportion p de personnes favorables à la réforme fiscale dans la population.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 7. Nombre de personnes à sonder par téléphone.

On veut faire un sondage par téléphone pour connaître la proportion d'électeurs qui vont voter PS, mais on veut que, avec un niveau de confiance 95 %, l'erreur ne soit pas plus grande que ± 3 %. Combien de personnes faut-il sonder ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 8. Nombre de personnes devant accepter une proposition.

Mille personnes gagnent la possibilité de jouer un jeu pile ou face équilibré pour gagner 10 000 euros. Un entrepreneur propose à chaque joueur la somme de 4 500 euros pour jouer à sa place. Combien de personnes doivent accepter sa proposition pour que la probabilité qu'il perde de l'argent soit inférieure à 5 % ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 9. Test d'équilibrage d'un dé.

Un logiciel prétend simuler un jeu de dé équilibré.
On veut le tester sur un échantillon d'un million d'épreuves où on suppose que seulement le six est gagnant.

1°/ Utiliser l'approximation normale pour calculer un intervalle de confiance à 99 % pour le nombre X de succès obtenu.
2°/ Que dire si l'on obtient 167 518 succès ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 10. Pourcentage de garçons à la naissance.

Sur 2424 naissances, on a observé 1270 garçons et 1154 filles.

1°/ Donner une estimation ponctuelle du pourcentage de garçons à la naissance dans la population étudiée, ainsi que l'intervalle de confiance de ce pourcentage pour un risque a fixé à 5 %.
2°/ Combien de naissances devrait-on recenser pour connaître le pourcentage de garçons dans la population étudiée, avec une précision égale à 0,5 % (avec un risque a fixé à 5 %) ?
3°/ Dans une maternité de cette population, on a observé 9 naissances de garçons sur les 15 naissances d'une semaine. Donner l'intervalle de confiance du pourcentage de garçons pour un risque a fixé à 5 %.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 11. Masse de colis.

A la réception de colis, un responsable doute de l'exactitude des masses affichées sur les boîtes. Il prélève, au hasard, 25 boîtes qu'il pèse. Soit x i la masse de i e boîte. Il obtient

x i = 49,5 kg et x i ² = 98,3 kg ².

On supposera que les masses de la production suivent une loi normale.

1°/ Donner une estimation ponctuelle de la moyenne et de la variance de la masse des boîtes de la production.
2°/ Calculer l'intervalle de confiance de la variance, de l'écart-type et de la moyenne des masses de la production pour un risque a fixé à 5 %.
3°/ Sachant que la masse affichée sur chaque boîte est de 2 kg, les doutes du responsable sont-ils justifiés ?
4°/ Sachant que la variance de la production est de 0,01, calculer alors l'intervalle de confiance de la masse moyenne (a = 5 %).
5°/ En supposant que les estimations de la moyenne et de la variance, calculées à la 1 e question, aient été obtenues à partir d'un échantillon de 50 boîtes (et non de 25), déterminer alors l'intervalle de confiance de la moyenne et celui de l'écart-type des masses. On prendra encore a = 5 %.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 12. Régime amaigrissant.

Pour mesurer l'impact d'un régime amaigrissant, un club a choisi au hasard un échantillon de 5 individus avant le régime, et un échantillon de 5 autres individus après. Les masses corporelles se présentent ainsi :

Avant

84

92

72

91

84

Après

81

88

74

81

90

1°/ Déterminer un intervalle de confiance à 95 % pour :
     a) la masse corporelle moyenne avant le régime.
     b) la masse corporelle moyenne après le régime.
     c) la perte moyenne de masse corporelle durant le régime.

2°/ Tout compte fait, on a décidé qu'il aurait peut-être été plus adapté de peser les mêmes individus avant et après le régime. On a obtenu :

Individu

1

2

3

4

5

Avant

84

92

72

91

84

Après

73

97

73

78

80

Sur la base de cet échantillon, déterminer un intervalle de confiance à 95 % pour la perte moyenne de masse corporelle durant le régime. Conclusion ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 13. Trempage d'assiettes.

Une firme produisant de la vaisselle en verre a mis au point un procédé de trempage moins coûteux qui permet au verre, une fois sur le feu, de supporter une plus forte température sans se casser. Pour tester le nouveau processus, on a choisi au hasard 5 assiettes parmi les quantités produites ; chacune d'elles est "coupée" en deux parties égales, une moitié étant trempée à l'aide du nouveau processus et l'autre moitié par l'ancien processus. Soumis à l'effet de la chaleur jusqu'au point de rupture, les deux parties de chaque assiette donnent les résultats suivant pour la température de rupture :

Nouveau
processus
475 436 495 483 426
Ancien
processus
485 438 493 486 433

Construire un intervalle de confiance à 95 % pour l'amélioration moyenne de la température de rupture.